Bibliografia / Sitografia

Bibliografia:

Autore: CUNIBERTI E. - DE LUCCHI L.
Titolo: ELETTRONICA DIGITALE
Editore: PETRINI


Sitografia:

http://homes.dsi.unimi.it/~pedersin/AER/AER08_L06.pdf

Verifica (soluzione)

Stavo scherzando!!!
Ecco la soluzione. Mi auguro che la guardiate solo dopo averla risolta.



Avete bisogno di chiarimenti? Scrivetemi

Verifica

Provate a svolgere la seguente verifica. In questo modo riuscirete ad applicare ciò che avete imparato. Buon lavoro.

Ah, dimenticavo:"La soluzione di questa verifica non sarà pubblicata".

Considerata la seguente funzione:



a) scrivere la funzione data nella forma tabella di verità;
b) minimizzare la funzione data con le mappe di Karnaugh.

Fatevi Avanti!

Tutti i lettori di questo blog sono invitati ad esprimere pareri, consigli, riflessioni, considerazioni riguardo al materiale: mandate i vostri commenti!

INSOMMA, APRO UFFICIALMENTE UNA DISCUSSIONE
VI ASPETTO

Mappe di Karnaugh (condizioni di indifferenza)

Condizioni di indifferenza
Per concludere la nostra lezione ragazzi consideriamo cosa potrebbe capitare qualche volta. Potrebbe accadere che il valore dell’uscita di un’assegnata tabella della verità non venga specificato per alcune combinazioni delle variabili d’ingresso, o perché queste combinazioni non possono verificarsi oppure perché, più in generale, non interessa conoscere i valori dell’uscita corrispondenti a tali combinazioni. Si parla così di condizioni di indifferenza. In questa situazione l’uscita, che può assumere indifferentemente il valore 0 o 1, viene riportata sulla mappa di Karnaugh con il simbolo “-”. Le condizioni di indifferenza possono essere sfruttate al fine di semplificare la funzione logica ponendo al posto del simbolo “-” il valore 1, quando ciò è conveniente, e 0 altrimenti.

Ora per aiutarvi a ricordare il metodo delle mappe di Karnaugh facciamo delle mappe concettuali:





Bravi e grazie per l'attenzione. Ora, mi raccomando, studiate!!!

Mappe di Karnaugh (espressione della funzione minimizzata)

Espressione della funzione minimizzata
A questo punto l’ultimo passo da effettuare è quello di scrivere la funzione logica minimizzata. Essa viene espressa in forma semplificata come somma di prodotti, ciascuno corrispondente ad un raggruppamento. Ogni prodotto è costituito dalle sole variabili che non cambiano di valore nel raggruppamento; le variabili sono prese in forma diretta se valgono 1, in forma negata valgono 0. Nei prodotti vengono pertanto eliminate le variabili che cambiano all’interno di un raggruppamento. Così nella mappa del nostro esempio per la funzione (1) di tre variabili, il 1° raggruppamento da quattro caselle fornisce il termine


mentre il 2° raggruppamento da due caselle fornisce il termine


di conseguenza la funzione (1) in forma minima assume l’espressione seguente:



Notate ragazzi che da cinque mintermini che componevano la funzione, ora minimizzata è una funzione di due soli mintermini.
Occupiamoci ora anche dell’altro esempio e cioè della funzione (2) di quattro variabili; il 1° raggruppamento da due caselle fornisce il termine prodotto


mentre il 2° raggruppamento da quattro caselle fornisce il termine prodotto



ed infine il 3° raggruppamento da quattro caselle fornisce il termine BD. Pertanto la funzione minimizzata assume l’espressione:




Come potete notare dalla funzione di partenza formata da otto mintermini siamo giunti, avendola minimizzata, a solo tre mintermini di cui due prodotti di due variabili e uno di tre.
Attenzione al rischio di fare minimizzazioni incomplete: nella mappa del nostro esempio se avessimo fatto i seguenti raggruppamenti:





Abbiamo ancora ottenuto tre mintermini, ma questa volta solo uno è prodotto di due variabili, mentre due sono da tre. Ciò è accaduto perché non abbiamo rispettato la regola 2 dei raggruppamenti che dice di scegliere raggruppamenti più ampi possibile.
Ci avviciniamo verso la conclusione della lezione. Non mollate, continuate a stare attenti.

Mappe di Karnaugh (raggruppamenti)

Raggruppamenti nelle mappe K
Fino a questo a punto abbiamo imparato a costruire la mappa di Karnaugh e a riempirla; ora va elaborata, ossia occorre dare inizio alla fase di minimizzazione. Più precisamente si effettuano quelli che si chiamano raggruppamenti delle caselle adiacenti contenenti 1. Chiaramente i raggruppamenti non vanno fatti a piacimento, ma ci sono delle regole da seguire che sono:

1) i raggruppamenti possono essere costituiti da 1, 2 , 4, 8, 16, ecc. caselle, tutte adiacenti l’una all’altra, comprese quelle che si trovano a i bordi esterni della mappa;
2) i raggruppamenti devono essere più ampi possibile e possono anche sovrapporsi parzialmente;
3) una casella già inclusa in un raggruppamento può essere associata ad un’altra casella solo se ciò contribuisce a formare un nuovo gruppo di 2, 4, 8, ecc. caselle.

Come conviene procedere nei raggruppamenti?
Per ottenere i migliori risultati e cioè arrivare all’espressione minima della funzione logica è utile procedere secondo i seguenti punti:

a) si individuano dapprima le caselle che non possono essere combinate con altre; racchiuse in un cerchio esse costituiscono i raggruppamenti da una casella;
b) fra le altre caselle si individuano quelle che possono essere combinate con una soltanto delle altre in un sol modo; si racchiudono i raggruppamenti a due così ottenuti. Per il momento non si considerano le caselle che possono essere raggruppate con un’altra in più di un modo;
c) fra le caselle ancora libere, si individuano quelle che possono essere combinate con altre tre in un sol modo; si racchiudono con una linea i raggruppamenti a quattro così ottenuti. Non si considerano per il momento le caselle che possono essere raggruppate a quattro in più di unn modo;
d) si procede in modo analogo per i raggruppamenti più ampi;
e) se alla fine restano caselle libere, queste possono essere combinate fra loro o con caselle già coperte con il solo criterio di formare il minor numero possibile di gruppi.

Come ben potete comprendere, ragazzi, la fase più delicata del metodo delle mappe di Karnaugh è proprio quella dei raggruppamenti delle caselle contenenti 1 perché sbagliare un raggruppamento significa arrivare a minimizzazioni incomplete.
A questo punto effettuiamo i raggruppamenti sulla nostra funzione logica di tre varibili considerata in uno degli esempi precedenti:




Procediamo ora con l’effettuare i raggruppamenti per la funzione logica di quattro variabili vista prima:




State notando quanto sono potenti le mappe di Karnaugh? A questo punto ricordiamo gli aspetti importanti per fare i raggruppamenti:




Ora resta da esaminare qual è l'espressione logica della funzione minimizzata: seguite la prossima lezione!

Mappe di Karnaugh (riempimento)

Riempimento della mappa K
Abbiamo imparato che una funzione può essere espressa come somma di mintermini o come prodotto di maxtermini. Per effettuare il riempimento della mappa K ci concentreremo sulla forma canonica di tipo P e cioè sulla possibilità di esprimere una funzione come somma di mintermini.
Disegnata la mappa, si individuano sulla tavola di verità le righe che forniscono per la funzione Y il valore 1 e per ogni riga individuata si inserisce un 1 nella corrispondente casella della mappa K. Se la funzione, anziché mediante la tavola di verità, è espressa in forma algebrica come somma di mintermini, si inserisce un 1 nelle caselle corrispondenti ai mintermini presenti nell’espressione. Rimangono invece vuote le caselle corrispondenti a mintermini non presenti nella funzione o a righe della tavola di verità che forniscono per la Y il valore 0.
Facciamo subito qualche esempio: consideriamo una funzione di tre variabili.



Funzione logica a tre variabili espressa in forma algebrica che ha la seguente tavola di verità:



Dalla tavola di verità o dalla forma algebrica della funzione inseriamo gli 1 nella mappa K.
Consideriamo ora l’esempio di una funzione a quattro variabili:


Funzione logica a quattro variabili espressa in forma algebrica che ha la seguente tabella di verità:



Si vede che Y vale 1 in corrispondenza delle righe 0,3,5,7,8,11,13 e 15; pertanto si inserisce un 1 nelle celle corrispondenti della mappa K. La stessa configurazione si ottiene partendo direttamente dai mintermini presenti nella forma algebrica della funzione Y.



A questo punto prendiamoci un pò di pausa. Ricominceremo con i raggruppamenti nelle mappe K.

Mappe di Karnaugh (struttura)

Del modulo sull'algebra di Boole e le porte logiche riporterò una lezione sulle mappe di karnaugh evidenziando la minimizzazione di una funzione logica attraverso di esse.
Non preoccupatevi sarà indolore. Continuate a studiare ragazzi!!!

MAPPE DI KARNAUGH
Bene ragazzi. Parleremo di un metodo potente da applicare sulle funzioni logiche. Ricordate che finora abbiamo imparato come sia possibile implementare una funzione booleana mediante porte logiche a partire sia dall’espressione algebrica della funzione sia dalla sua tavola di verità, dopo aver ricavato una delle due forma canoniche. Su una funzione così ottenuta, il più delle volte, occorre operare in maniera da semplificarla o come si dice, da minimizzarla. Il metodo di cui parleremo in questa lezione è usato proprio per questo scopo. Si tratta delle mappe di Karnaugh o mappe K; è un metodo grafico molto utilizzato.
La mappa di Karnaugh è stata inventata nel 1953 da Maurice Karnaugh, un ingegnere in Telecomunicazioni.
Per quale motivo occorre minimizzare una funzione?
Pensate ad esempio che, una volta ricavata la funzione bisogna realizzarla mediante un circuito; è chiaro allora che minimizzare la funzione significa ridurre il numero di porte logiche da inserire nel circuito il che comporta di ridurre i costi.
Subito vi dico, per non farvi spaventare o preoccupare, che le mappe di Karnaugh sono semplici.
Le mappe di Karnaugh permettono di rappresentare e minimizzare funzioni logiche fino a sei variabili. Esse rappresentano la tabella di verità di una funzione in forma bidimensionale.

Struttura della mappa K
Le mappe di Karnaugh sono composte da un certo numero di caselle o celle.
Quante sono le celle?
Sono pari al numero dei valori delle variabili di ingresso (ovvero quante sono le righe della tavola di verità) opportunamente disposte una accanto all’altra. Un esempio ci aiuterà a capire meglio:


Nella fig.1 notiamo la corrispondenza che c’è fra le caselle della mappa di Karnaugh e le righe della tavola di verità, infatti la cella P0 corrisponde alla riga 0 della tavola di verità, con A=0, B=0; la casella P1 alla riga 1, con A=0, B=1; la casella P2 alla riga 2, con A=1, B=0; infine la casella P3 alla riga 3, con A=1, B=1.
Si può notare anche che con due variabili di ingresso (A, B) abbiamo quattro celle, quindi il numero delle caselle della mappa K è ottenuto come 2n dove n corrisponde al numero delle variabili di ingresso.
Riportiamo anche le mappe per tre (A,B,C) e quattro variabili di ingresso (A,B,C,D):


Ragazzi notate che, specialmente osservando la mappa di Karnaugh a quattro variabili, due caselle adiacenti differiscono per il valore di una sola variabile.
La casella P0 corrisponde ai valori A=0, B=0, C=0, D=0 (riga n.0 della tavola di verità) e quindi al mintermine la casella P1 individuata dalla colonna A=0, B=0 e dalla riga C=0, D=1, corrisponde al mintermine D (riga n.1 della tavola), e così via per tutte le caselle. Fra caselle adiacenti si verifica il cambiamento del valore di una sola variabile: dalla casella P12 alla P8, ad esempio, cambia solo B che passa da 1 a 0, mentre rimangono inalterate A,C e D, rispettivamente uguali a 1,0 e 0; dalla casella P5 alla P7 cambia C da 0 a 1, ecc.
Ciò è stato volutamente ottenuto disponendo opportunamente le righe e le colonne, ossia passando, nell’ordine, dalla riga o colonna 00, alla 01, alla 11, alla 10. La caratteristica dell’adiacenza deriva dal fatto che la mappa di Karnaugh pur essendo disegnata su un piano in realtà ha una struttura toroidale.
Ragazzi sono sicuro che a tutti voi piacciono le ciambelle, vero? Come le preferite? Farcite in che modo? Credo che vada bene qualsiasi gusto, purché sia una ciambella! Ora pensate alla mappa di Karnaugh: immaginatela con i lati sinistro e destro e superiore ed inferiore coincidenti come a formare una ciambella.
Le caselle dell’ultima colonna sono da considerarsi adiacenti a quelle della prima colonna disposte sulla stessa riga; così la P8 con la P0, la P9 con la P1, la P11 con la P3, la P10 con la P2. Infatti nel passaggio dalle une alle altre cambia solo il valore di A. Lo stesso vale per le caselle della prima e dell’ultima riga: le coppie di caselle P0 e P2, P4 e P6, P12 e P14, P8 e P10 sono pertanto adiacenti.


Adesso vi faccio riposare un pò.
Continueremo trattando il riempimento delle mappe di Karnaugh.

Boole e porte logiche

Modulo: Porte logiche e algebra Booleana
NB: Cn = conoscenza; Ab = abilità; T = teoria; L = laboratorio

Obiettivi di competenza finali attesi
1 Conoscenza dell’algebra booleana
2 Conoscenza delle principali porte logiche con relative tabelle di verità
3 Analisi e sintesi dei circuiti logici
4 Progettazione e realizzazione di circuiti logici

Modalità di verifica, di recupero e/o approfondimento
Verifica sommativa scritta e orale; la scritta avverrà in contemporanea a quella dell’unità C3. Eventuale rivisitazione
dei contenuti e verifica di recupero. Eventuale approfondimento mirato e valutato in contemporanea al recupero.
Eventuali ulteriori recuperi saranno possibili con percorsi didattici personalizzati ed esterni al normale orario di
lezione).

Unità di lavoro 1 Fondamenti di logica e principali porte logiche
Prerequisiti alcuni contenuti del Modulo sui sitemi di numerazione
Contenuti:Introduzione all’algebra booleana e diagrammi di Venn; Proprietà algebriche basilari; Le porte logiche fondamentali: AND, OR, NOT; Rappresentazione tramite circuiti elettrici delle porte logiche fondamentali; Le porte logiche NAND, NOR, XOR, XNOR;
Gli integrati commerciali.
Tempi 3 settimane

Obiettivi di teoria fondamentali
CnT1 Conoscere le proprietà algebriche fondamentali : proprietà commutativa, associativa e distributiva
CnT2 Conoscere i simboli circuitali e le tabelle di verità delle porte logiche AND, OR e NOT
AbT1 Sapere riconoscere le tre porte logiche fondamentali analizzando la tabella di verità;
AbT2 Saper disegnare il diagramma di Venn di ognuna delle porte logiche fondamentali
CnT3 Conoscere i circuiti elettrici con lampadine rappresentativi delle porte logiche fondamentali
AbT3 Saper ricavare la tabella di verità dai circuiti elettrici rappresentativi
CnT4 Conoscere i simboli circuitali e le tabelle di verità delle porte logiche NAND, NOR;
AbT4 Sapere riconoscere le porte logiche NAND, NOR analizzando la tabella di verità;
AbT5 Saper disegnare il diagramma di Venn di ognuna delle porte logiche NAND, NOR.

Corrispondenze tra obiettivi e verifiche
Test 1: (CnT1);
Test 2: (AbT1); (CnT2); ( AbT2); (CnT3); (AbT3);
Test 3: (CnT4); (AbT4); (CnT5); (AbT5)

Modalità di verifica, recupero e/o approfondimento
Verifica scritta a fine unità. Eventuale rivisitazione dei contenuti con verifica di recupero rinviata al termine della seconda unità.

Obiettivi di laboratorio fondamentali
AbL1 Imparare ad usare Excel per ricavare le tabelle della verità (lab. H3.1)
AbL2 Saper valutare una funzione tramite Excel (lab. H3.1)
AbL3 Saper individuare il corretto integrato tramite datasheet
AbL4 Saper identificare i piedini e il corretto collegamento su bread-board
AbL5 Saper realizzare una semplice funzione logica con le porte elementari (lab. 3.3)
AbL6 Saper leggere e verificare la correttezza delle uscite (lab. H3.3)

Modalità di verifica, recupero e/o approfondimento
Valutazione in itinere dell’attività di laboratorio,
integrata dalla valutazione di relazioni scritte

Unità di lavoro 2 Algebra Booleana
Prerequisiti contenuti del Unità di lavoro 1
Contenuti ; teoremi fondamentali dell’algebra di Boole, teoremi di De Morgan; porte EX-OR, EX-NOR, alcune porte three-states;
mintermini maxtermini, rappresentazione della funzione binaria in forma canonica come somma di mintermini o come prodotto di maxtermini; minimizzazione delle funzioni binarie: mediante i teoremi dell’algebra di Boole e mediante le mappe di Karnaugh fino a 4 variabili; Esempi di circuiti logici.
Tempi 5 settimane

Obiettivi di teoria fondamentali
CnT1 Conoscere i simboli circuitali e le tabelle di verità delle porte logiche EX-OR, EX_NOR, three-states;
CnT2 Conoscere le proprietà dell’algebra di Boole e del teorema di De Morgan;
AbT1 Sapere riconoscere le porte logiche EX-OR, EX_NOR, three-states analizzando la tabella di verità;
AbT2 Saper applicare i teoremi fondamentali dell’algebra di Boole;
AbT3 Saper applicare il teorema di De Morgan per ridurre espressioni booleane;
CnT3 Conoscere le definizioni di mintermini e maxtermini.

Obiettivi di teoria opzionali
AbT4 Saper minimizzare una funzione logica mediante l’algebra di Boole
AbT5 Saper minimizzare una funzione logica mediante le mappe di Karnaugh

Corrispondenze tra obiettivi e verifiche
Test 1 (CnT1); 2 (AbT1); 3 (AbT2); 4 (CnT2); 5 (AbT3); ); 6(AbT4); ); 7 (AbT5)

Modalità di verifica, recupero e/o approfondimento
Verifica formativa in itinere e scritta (sommativa) a fine unità. Eventuale approfondimento mirato e valutato in itinere

Obiettivi di laboratorio Fondamentali
AbL1 Saper analizzare un circuito con le porte logiche EX-OR e EX-NOR tramite l’uso della bread-board; (lab. H2.1)
AbL2 Saper realizzare delle operazioni in logica cablata mediante porte logiche NAND e NOR (lab. H3.3)
AbL3 Saper leggere e verificare la correttezza delle uscite (lab. H3.3)

Obiettivi di laboratorio opzionali
AbL4 Saper risolvere un complesso con l’utilizzo di tutte le porte logiche conosciute (lab. H2.1)

Modalità di verifica, recupero e/o approfondimento
Valutazione in itinere dell’attività di laboratorio, integrata dalla
valutazione di una relazione scritta.

Unità di lavoro 3 Circuiti logici combinatori
Prerequisiti contenuti del Unità di lavoro 1 e 2
Contenuti ; circuiti combinatori come insieme interconnesso di porte logiche, associazione tra funzione logica booleana e circuito logico combinatorio; esempi di circuiti combinatori elementari; Codificatori e decodificatori, esempi di codificatori realizzati con porte logiche ed esempi di circuiti integrati; Cenni sui sistemi di visualizzazione, display a 7 segmenti;
Tempi 4 settimane

Obiettivi di teoria fondamentaliCnT1 Conoscere il legame porte logiche-circuiti combinatori
CnT2 Conoscere il comportamento dei codificatori e decodificatori;
CnT3 Conoscere i sistemi di visualizzazione;
AbT1 Saper associare una funzione logica ad un circuito combinatorio;
AbT2 Saper realizzare un circuito avendo la funzione logica e viceversa, con minimizzazione della funzione stessa;
AbT3 Saper realizzare dei codificatori tramite l’uso di porte logiche;

Corrispondenze tra obiettivi e verifiche
Test 1 (CnT1); (AbT1); (AbT2)
Test 2 (CnT2); (AbT3)
Test 3 (CnT3)

Modalità di verifica, recupero e/o approfondimento
Verifica formativa in itinere e scritta (sommativa) a fine unità. Eventuale rivisitazione dei contenuti con eventuale verifica di recupero dei contenuti dell’unità C1 e C2. Eventuale approfondimento mirato e valutato in itinere e in contemporanea al recupero.

Obiettivi di laboratorio fondamentali
AbL1 Imparare ad usare le porte come circuiti logici
AbL2 Saper concretamente realizzare un circuito combinatorio
AbL3 Imparare ad usare codificatori e decodificatori
AbL4 Saper concretamente realizzare dei circuiti combinatori tramite l’uso di circuiti integrati
AbL6 Saper usare il display a 7 segmenti per la verifica di circuiti logici

Modalità di verifica, recupero e/o approfondimento
Valutazione in itinere dell’attività di laboratorio,
integrata dalla valutazione di relazioni scritte.

Inizio Lezioni

Cominciamo pure le nostre lezioni. Quella che segue è la programmazione didattica di una terza ITIS ad indirizzo programmatori.
E'il modulo che riguarda le porte logiche e l'algebra di Boole. Credo possa essere utile per tutti gli studenti in quanto fornisce loro le cose da imparare, come impararle e soprattutto modalità di verifica e recupero!

Partenza

Inizio a riempire il mio blog. Un blog che conterrà materiale di elettronica. In particolare per gli studenti del triennio ITI saranno disponibili appunti di lezioni di elettronica.

Allora ragazzi, siete pronti a studiare?

APPROFITTATE!!!